华蘅芳

华蘅芳的数学研究成果主要见于他的著作《行素轩算稿》，出版于1882年。1897年再版本共收入6种书27卷。在《开方别术》等著作中，他提出求整系数高次方程的整数根的新方法——“数根开方法”，李善兰评价此法“较旧法简易十倍”。在《积较术》等著作中，他讨论招差法在代数整多项式研究和垛积术中所起的作用，其中的“诸乘方正元积较表”和“和较还原表”在组合数学和差分理论中都有一定的意义。在《数根术解》等著作中，他讨论了“筛法”，还用诸乘尖堆法证明了费马素数定理与欧拉证法相似。他的数学成就倍受当时数学界的赞誉。他的《学算笔谈》一书论述了数学理论、数学思想和学习数学的方法。这部独具特色的书在19世纪90年代再版多次，被许多学堂和书院当作数学教材，以致“东南学子，几乎家有其书”。

华蘅芳与外国人合译出版了12种171卷近代科技著作，内容泛及数学、地质学、矿物学、航海、气象、天文学等。比起他的数学研究工作，他译书的成就更大、影响更广。他与玛高温（D．J．－MacGowan）于1869年合译出《金石识别》，将近代矿物学和晶体物理学知识系统介绍到中国。这部书的原版是美国地质学家和矿物学家代那（J．D．Dana）的《矿物学手册》（ManualofMineralogy，1848）。此后，华蘅芳与玛高温又合作将英国地质学家赖尔（C．Lyell）的《地质学纲要》（ElementsofGeology）译为《地学浅释》，首次向中国介绍了赖尔的地质进化均变说和达尔文的生物进化论。他与傅兰雅合译了多种数学著作，介绍了代数学、三角学、微积分等，其中《决疑数学》是中国第一部概率论译著。华蘅芳追求译著文义“明白晓畅，不失原书之真意”，后人称赞他的译著“足兼信、达、雅三者之长”。华蘅芳等人的译著在中国近代科学启蒙中发挥了重要作用。

华蘅芳同外国学者合作翻译的书籍一类属于矿物、地质、气象和军事工程等，一类是数学。他同英国人傅兰雅共译出《代数术》25卷(1872)，《微积溯源》8卷(1874)，《三角数理》12卷(1877)，《代数难题解法》16卷(1879)，《决疑数学》10卷(1880)，《合数术》11卷(1887)，《算式解法》14卷(1899)等。

《代数术》与《微积溯源》是继李善兰同伟烈亚力合译《代数学》与《代微积拾级》(1859)之后的两部重要着作，特别是《决疑数学》是中国编译的第一部概率论着作，表明当时译者已认识到概率论作为数学工具在研究社会某些问题中的作用。华蘅芳译作文字明白晓畅，内容丰富多彩，使高等数学的基础知识和基本方法得以进一步传播。他还介绍了西方数学家和数学史。他是李善兰之后引进西算影响最大的人。

华蘅芳的数学着作有：《开方别术》1卷(1872)，《数根术解》1卷，《开方古义》2卷(1880)，《积较术》3卷，《学算笔谈》6卷(后续6卷)，《算草丛存》4卷(后续4卷)。以上六种收入文集《行素轩算稿》(1882)中。此外，还有启蒙读物《算法须知》、《西算初阶》等。他的研究侧重于传统数学，主要在三个方面：开方术为解整系数高次方程。数根术为初等数论中素数理论及应用。积较术即招差术，为有限差分法。他的研究总的说来受到当时中算发展水平的限制，其成就主要在早期离散数学方面，《积较术》可以看作是他的代表作。该书第二、三卷创造“诸乘方正元积较表”和“积较还原表”，是两种相关的计数函数，可以与第一、二种斯特数建立函数关系；书中并给出两组互反公式，属于广义麦比乌斯反演；另外他的研究还涉及若干组合恒等式以及有重复组合的母函数定理等，这些都属于计数理论的范围，在组合数学、差分学中有一定意义，推进了中国早期组合数学的发展。